Logaritma

Definisi Logaritma

merupakan operasi invers dari eksponen yang dinotasikan dalam bentuk:

^alog b = c  atau  log_ab = c   syarat b>0 , a>0  a¹ 1 
keternagan: 

• a disebut basis logaritma
• ^alog b = c senilai  b= a^c 

Rumus Logaritma
Menetukan logaritma dapat menggunakan tabel logaritma, kalkulator atau menggunakan rumus-rumur  sebagai beriktu: 

• ^alog a = 1
• ^a log bⁿ = n.^alog b
• ^anlog b^m = m/n ^alog b 
• ^alog b + ^alog c = ^alog (b.c)
• ^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)
• (^alog b)(^blog c) = ^alog c

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Jika diketuhi fungsi f(x) dan g(x) maka bentuk-bentuk persamaan logaritma yang mungkin muncul adalah sebagai berikut

1. ^alog f(x) = ^alog g(x)  artinya f(x) = g(x) dan  syarat f(x) > 0 , g(x) > 0
2. ^alog f(x) = ^blog f(x)   artinya f(x) = 1     dan  syarat f(x) > 0
3. ^alog f(x) > ^alog g(x) artinya 
• jika a > 0 maka berlaku  f(x) > g(x)
• jika 0< a < 1 maka berlaku  f(x) < g(x)
• syarat logaritma    f(x) > 0 , g(x) > 0

• Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan. 
• Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik. 
• Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilaidaya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. 
• Skala Richter mengukur intensitas gempa bumidengan menggunakan skala logaritma berbasis 10 
• Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7. 

Contoh Soal:

--------------------------------------------------------------------------------------------------

1.  UM UGM 2006

     Nilai dari (^1/klog m²)(^1/mlogn²) (^1/nlogk²) adalah

       (A) 4         (B) -4         (C) -12          (D) -8         (E) 7
      Penyelesaian:
      (^1/klog m²)(^1/mlogn²) (^1/nlogk²) = 
                             = (^{(k)^-1}log m²)(^{(m)^-1}log n²)(^{(n)^-1}log k²)
                             =(2/-1).(2/-1)(2/-1)
                             = -8

-------------------------------------------------------------------------------------------------

2.   SPMB 2007
      Jika ^xlog 3=0,4 maka nilai x

       (A) 2 3^(1/2)    (B)4  3^(1/2)   (C) 5  3^(1/2)    (D) 6  3^(1/2)     (E)9 3^(1/2)

       Penyelesaian:

       ^xlog 3=0,4  senilai  ^xlog 3=(2/5)
                                                  3=x^(2/5)
                                                  x= 3^(5/2)
                                                  x=3² 3^(1/2)
                                                  x=9 3^(1/2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
3.    SPMB 2007
       Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (5-2log x)logx=log 1000 maka 
       nilai x1² + x1²  adalah

       (A) 0           (B) 10              (C) 100            (D) 1000          (E)1100

       Penyelesaian:

       misal  p= log x maka  (5-2log x)logx=log 1000  senilai dengan

                                                             (5-2p)p=3

                                                             5p-2p²=3

                                                         2p²-5p+3=0

                                                       (2p-3)(p-1)=0

         diperoleh   p1=3/2    atau    p2=1
                        logx1=3/2          log x2=1
                              x1=10^(3/2)           x2=10
         jadi  x1² + x1²  = 10^(3/2)2 +10² 
                                    = 10³ +10² 
                                    = 1100

--------------------------------------------------------------------------------------------------

4.   SPMB 2007
      Jika ^xlog 3=0,4 maka nilai x

       (A) 2 3^(1/2)    (B)4  3^(1/2)   (C) 5  3^(1/2)    (D) 6  3^(1/2)     (E)9 3^(1/2)

       Penyelesaian:

       ^xlog 3=0,4  senilai  ^xlog 3=(2/5)
                                                  3=x^(2/5)
                                                  x= 3^(5/2)
                                                  x=3² 3^(1/2)
                                                  x=9 3^(1/2)