Fokus : Sistem Persamaan Linear dan Operasi Matriks

Jumat, 20 April 2012

Sistem Persamaan Linear dan Operasi Matriks

di 02.10

Diposting oleh A. S. Rohman

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks.
Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

$\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}$

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

1. Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi
persyaratan berikut :

1. Entri setiap baris angka pertama bukan 0 harus 1

2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & -8 & 8\\ \end{bmatrix}$

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan
disebut Eselon-baris tereduksi

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6\\ \end{bmatrix}$

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Suatu Operasi Baris Elementer disebut Operasi Gauss Jordan jika memenuhi syarat sebagai berikut:

1. Entri setiap baris angka pertama bukan 0 harus 1

2. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukansubstitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

$x + 2y + z = 6$

$x + 3y + 2z = 9$

$2x + y + 2z = 12$

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B1 x 1 ,. Untuk merubah a₁₁ menjadi 1

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a₂₁ menjadi 0

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a₃₁ menjadi 0

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B2 x 1 ,. Untuk merubah a₂₂ menjadi 1

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ \end{bmatrix}$ B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a₃₂ menjadi 0

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{bmatrix}$ B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a₃₃ menjadi 1
(Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

$x + 2y + z = 6$

$y + z = 3$

$z = 3$

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

$y + z = 3$

$y + 3 = 3$

$y = 0$

$x + 2y + z =6$

$x + 0 + 3 = 6$

$x = 3$

Jadi nilai dari $x = 3$ , $y = 0$ ,dan $z = 3$

posting by: Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

0 komentar:

Posting Komentar

Info SNMPTN

PENDAFTARAN DAN TATA CARA PENDAFTARAN Pendaftaran dilakukan secara online dan tata cara pendaftaran secara lengkap dapat dilihat pada lamanhttp://ujian.snmptn.ac.id. Tatacara pengisian borang pendaftaran ujian tertulis dan keterampilan dapat diunduh (download) dari lamanhttp://download.snmptn.ac.id mulai tanggal 30 April 2012. Pendaftaran online dimulai dari tanggal 10 Mei 2012 pukul 08.00 WIB s.d 31 Mei 2012 pukul 22.00 WIB. JENIS UJIAN 1. Ujian Tertulis Ujian Tertulis terdiri dari: a. Tes Potensi Akademik (TPA) b. Tes Bidang Studi (TBS) Prediktif: i. Tes Bidang Studi Dasar terdiri atas mata ujian Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris. ii. Tes Bidang Studi IPA terdiri atas mata ujian Matematika, Biologi, Kimia, dan Fisika. iii. Tes Bidang Studi IPS terdiri atas mata ujian Sosiologi, Sejarah, Geografi, dan Ekonomi. 2. Ujian Keterampilan: Ujian Ketrampilan diperuntukkan bagi peminat: Program Studi bidang Ilmu Seni Program Studi bidang Ilmu Keolahragaan PENYELENGGARAAN UJIAN KETERAMPILAN UNTUK PROGRAM STUDI BIDANG ILMU SENI DAN BIDANG ILMU KEOLAHRAGAAN Peserta ujian yang memilih program studi bidang Ilmu Seni dan/atau Ilmu Keolahragaan diwajibkan mengikuti ujian keterampilan yang dilaksanakan pada tanggal 14 dan/atau 15 Juni 2012. Peserta Ujian dapat mengikuti Ujian Keterampilan di PTN yang memiliki program studi yang dipilih. Daftar PTN yang memiliki program studi penyelenggara ujian keterampilan secara lengkap dapat dilihat di laman http://www.snmptn.ac.id. JADWAL UJIAN Ujian Tertulis Selasa, 12 Juni 2012 : Tes Potensi Akademik dan Tes Bidang Studi Dasar Rabu, 13 Juni 2012 : Tes Bidang Studi IPA dan Tes Bidang Studi IPS Ujian Keterampilan Ujian Keterampilan dilaksanakan pada tanggal 14 dan/atau 15 Juni 2012. PENILAIAN HASIL UJIAN Penilaian hasil ujian menggunakan ketentuan sebagai berikut: Jawaban BENAR : + 4 Jawaban SALAH : - 1 Tidak Menjawab : 0 Penilaian dilakukan secara menyeluruh. Oleh karena itu, setiap mata ujian harus dikerjakan sebaik mungkin dan tidak ada yang diabaikan. KELOMPOK UJIAN Kelompok ujian tertulis SNMPTN terbagi menjadi 3 (tiga): a. Kelompok Ujian IPA b. Kelompok Ujian IPS c. Kelompok Ujian IPC Setiap peserta dapat mengikuti kelompok ujian IPA, IPS, atau IPC tidak harus sesuai dengan jurusan SMA/MA/SMK/MAK yang bersangkutan. KELOMPOK PROGRAM STUDI DAN JUMLAH PILIHAN Program Studi yang ada di PTN dibagi menjadi dua kelompok, yaitu Program Studi kelompok IPA dan IPS. Setiap peserta kelompok ujian IPA atau IPS dapat memilih maksimal 2 (dua) program studi sesuai dengan kelompok ujian yang diikuti. Setiap peserta kelompok ujian IPC dapat memilih maksimal 3 (tiga) program studi dengan catatan minimal satu program studi kelompok IPA dan satu program studi kelompok IPS. Urutan dalam pemilihan program studi menyatakan prioritas pilihan. Peserta ujian yang memilih hanya 1 (satu) program studi, pilihan program studi dapat dari PTN di Wilayah mana saja. Peserta ujian yang memilih 2 (dua) program studi atau lebih, salah satu pilihan program studi tersebut harus dari PTN yang berada dalam satu Wilayah dengan tempat peserta mengikuti ujian. Pilihan program studi yang lain dapat dari PTN di luar Wilayahnya. Daftar program studi, daya tampung tahun 2012, dan jumlah peminat tahun 2011 dapat dilihat di lamanhttp://www.snmptn.ac.id. BIAYA SELEKSI UJIAN TERTULIS DAN KETERAMPILAN Biaya seleksi Jalur Ujian Tertulis dan Keterampilan adalah : Rp.150.000,00 (Seratus lima puluh ribu rupiah) per peserta untuk kelompok IPA atau kelompok IPS. Rp.175.000,00 (Seratus tujuh puluh lima ribu rupiah) per peserta untuk kelompok IPC (IPA dan IPS). Rp.150.000,00 (Seratus lima puluh ribu rupiah) per peserta per ujian keterampilan bagi yang memilih program studi yang mempersyaratkan Jalur Ujian Keterampilan. Biaya ujian dibayarkan ke Bank Mandiri. Biaya yang sudah dibayarkan tidak dapat ditarik kembali dengan alasan apapun. PENGUMUMAN HASIL UJIAN Hasil ujian akan diumumkan pada hari Sabtu, 7 Juli 2012 mulai pukul 19.00 WIB dan dapat diakses di lamanhttp://www.snmptn.ac.id. PESERTA PELAMAR BIDIKMISI Calon peserta Bidikmisi terlebih dahulu mempelajari prosedur pendaftaran Bidikmisi melalui lamanhttp://bidikmisi.dikti.go.id. Calon peserta Bidikmisi terlebih dahulu harus mendaftar ke laman http://bidikmisi.dikti.go.id. Calon peserta Bidikmisi yang dinyatakan memenuhi persyaratan oleh Ditjen Dikti akan memperoleh KAP dan PIN untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis melalui laman http://ujian.snmptn.ac.id, tanpa harus membayar biaya ujian. Calon peserta Bidikmisi yang dinyatakan tidak memenuhi persyaratan seleksi Jalur Undangan atau dinyatakan tidak diterima melalui seleksi Jalur Undangan, maka KAP dan PIN dapat digunakan kembali untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis tanpa harus membayar biaya ujian. Apabila calon peserta Bidikmisi telah dinyatakan lulus melalui seleksi Jalur Undangan dan berkeinginan untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis, maka PIN yang telah diperoleh dinyatakan tidak berlaku dan yang bersangkutan harus membayar biaya ujian dengan menggunakan KAP yang telah diperoleh sebelumnya. LAMAN RESMI DAN ALAMAT PANITIA PELAKSANA Informasi resmi mengenai SNMPTN dapat diakses melalui laman resmi http://www.snmptn.ac.id. Informasi resmi lainnya juga dapat diperoleh melalui Twitter SNMPTN: @2012snmptn, Facebook (http://www.facebook.com/groups/snmptn), http://halo.snmptn.ac.id, dan call center: 08041450450 Alamat Panitia SNMPTN 2012: Direktorat Pendidikan, Gedung Rektorat ITB lantai 4, Jl. Tamansari No.64 Bandung 40116. Telp/Fax. (022) 2530689, e-mail: panitia@snmptn.ac.id. LAIN-LAIN Segala perubahan ketentuan yang berkaitan dengan pelaksanaan SNMPTN 2012 akan diinformasikan melalui laman SNMPTN 2012 dan menjadi bagian dari Prosedur Operasional Baku (POB) SNMPTN 2012.

Matematika Tingkat Lanjut

Komputasi

Visitor

Blogger Register

Feedjit

Download PS NF