::. Selamat Datang di Blog Matematika SMA .::

Sabtu, 05 Mei 2012

Operasi Matriks

di 08.04
Diposting oleh A. S. Rohman

Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak, begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. 
Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.  A + B = B + A
b.  A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.  k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

Matriks Balikan (Invers)



JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskanB = A^{-1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B^{-1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ \end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan
                          (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
Contoh 1:
   Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I (matriks identitas)
   Maka dapat dituliskan bahwa
                   B = A^{-1}                 (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
   Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ \end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ \end{bmatrix}
   Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
  Matriks
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}
  Tentukan Nilai dari A-1
  Jawab:
 A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix}
Contoh 4:
  Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ \end{bmatrix}
  Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
  Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Contoh:
   Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 1\\ -1 & 3 & 3\\ 5 & 4 & 8\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5\\ -5 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 8\\ \end{bmatrix}


  Matriks
B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7\\ 9 & 5 & 7 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 3\\ \end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix} 1 & 9 & 4\\ 3 & 5 & 1\\ 5 & 7 & 5\\ 7 & 4 & 3\\ \end{bmatrix}


Beberapa Operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)^T)^T = A
2. (A+B)^T = A^T + B^T dan (A-B)^T = A^T - B^T
3. (kA)^T = kA^T dimana k adalah skalar
4. (AB)^T = B^T A^T



Posting by: Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)

Info SNMPTN

PENDAFTARAN DAN TATA CARA PENDAFTARAN Pendaftaran dilakukan secara online dan tata cara pendaftaran secara lengkap dapat dilihat pada lamanhttp://ujian.snmptn.ac.id. Tatacara pengisian borang pendaftaran ujian tertulis dan keterampilan dapat diunduh (download) dari lamanhttp://download.snmptn.ac.id mulai tanggal 30 April 2012. Pendaftaran online dimulai dari tanggal 10 Mei 2012 pukul 08.00 WIB s.d 31 Mei 2012 pukul 22.00 WIB. JENIS UJIAN 1. Ujian Tertulis Ujian Tertulis terdiri dari: a. Tes Potensi Akademik (TPA) b. Tes Bidang Studi (TBS) Prediktif: i. Tes Bidang Studi Dasar terdiri atas mata ujian Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris. ii. Tes Bidang Studi IPA terdiri atas mata ujian Matematika, Biologi, Kimia, dan Fisika. iii. Tes Bidang Studi IPS terdiri atas mata ujian Sosiologi, Sejarah, Geografi, dan Ekonomi. 2. Ujian Keterampilan: Ujian Ketrampilan diperuntukkan bagi peminat: Program Studi bidang Ilmu Seni Program Studi bidang Ilmu Keolahragaan PENYELENGGARAAN UJIAN KETERAMPILAN UNTUK PROGRAM STUDI BIDANG ILMU SENI DAN BIDANG ILMU KEOLAHRAGAAN Peserta ujian yang memilih program studi bidang Ilmu Seni dan/atau Ilmu Keolahragaan diwajibkan mengikuti ujian keterampilan yang dilaksanakan pada tanggal 14 dan/atau 15 Juni 2012. Peserta Ujian dapat mengikuti Ujian Keterampilan di PTN yang memiliki program studi yang dipilih. Daftar PTN yang memiliki program studi penyelenggara ujian keterampilan secara lengkap dapat dilihat di laman http://www.snmptn.ac.id. JADWAL UJIAN Ujian Tertulis Selasa, 12 Juni 2012 : Tes Potensi Akademik dan Tes Bidang Studi Dasar Rabu, 13 Juni 2012 : Tes Bidang Studi IPA dan Tes Bidang Studi IPS Ujian Keterampilan Ujian Keterampilan dilaksanakan pada tanggal 14 dan/atau 15 Juni 2012. PENILAIAN HASIL UJIAN Penilaian hasil ujian menggunakan ketentuan sebagai berikut: Jawaban BENAR : + 4 Jawaban SALAH : - 1 Tidak Menjawab : 0 Penilaian dilakukan secara menyeluruh. Oleh karena itu, setiap mata ujian harus dikerjakan sebaik mungkin dan tidak ada yang diabaikan. KELOMPOK UJIAN Kelompok ujian tertulis SNMPTN terbagi menjadi 3 (tiga): a. Kelompok Ujian IPA b. Kelompok Ujian IPS c. Kelompok Ujian IPC Setiap peserta dapat mengikuti kelompok ujian IPA, IPS, atau IPC tidak harus sesuai dengan jurusan SMA/MA/SMK/MAK yang bersangkutan. KELOMPOK PROGRAM STUDI DAN JUMLAH PILIHAN Program Studi yang ada di PTN dibagi menjadi dua kelompok, yaitu Program Studi kelompok IPA dan IPS. Setiap peserta kelompok ujian IPA atau IPS dapat memilih maksimal 2 (dua) program studi sesuai dengan kelompok ujian yang diikuti. Setiap peserta kelompok ujian IPC dapat memilih maksimal 3 (tiga) program studi dengan catatan minimal satu program studi kelompok IPA dan satu program studi kelompok IPS. Urutan dalam pemilihan program studi menyatakan prioritas pilihan. Peserta ujian yang memilih hanya 1 (satu) program studi, pilihan program studi dapat dari PTN di Wilayah mana saja. Peserta ujian yang memilih 2 (dua) program studi atau lebih, salah satu pilihan program studi tersebut harus dari PTN yang berada dalam satu Wilayah dengan tempat peserta mengikuti ujian. Pilihan program studi yang lain dapat dari PTN di luar Wilayahnya. Daftar program studi, daya tampung tahun 2012, dan jumlah peminat tahun 2011 dapat dilihat di lamanhttp://www.snmptn.ac.id. BIAYA SELEKSI UJIAN TERTULIS DAN KETERAMPILAN Biaya seleksi Jalur Ujian Tertulis dan Keterampilan adalah : Rp.150.000,00 (Seratus lima puluh ribu rupiah) per peserta untuk kelompok IPA atau kelompok IPS. Rp.175.000,00 (Seratus tujuh puluh lima ribu rupiah) per peserta untuk kelompok IPC (IPA dan IPS). Rp.150.000,00 (Seratus lima puluh ribu rupiah) per peserta per ujian keterampilan bagi yang memilih program studi yang mempersyaratkan Jalur Ujian Keterampilan. Biaya ujian dibayarkan ke Bank Mandiri. Biaya yang sudah dibayarkan tidak dapat ditarik kembali dengan alasan apapun. PENGUMUMAN HASIL UJIAN Hasil ujian akan diumumkan pada hari Sabtu, 7 Juli 2012 mulai pukul 19.00 WIB dan dapat diakses di lamanhttp://www.snmptn.ac.id. PESERTA PELAMAR BIDIKMISI Calon peserta Bidikmisi terlebih dahulu mempelajari prosedur pendaftaran Bidikmisi melalui lamanhttp://bidikmisi.dikti.go.id. Calon peserta Bidikmisi terlebih dahulu harus mendaftar ke laman http://bidikmisi.dikti.go.id. Calon peserta Bidikmisi yang dinyatakan memenuhi persyaratan oleh Ditjen Dikti akan memperoleh KAP dan PIN untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis melalui laman http://ujian.snmptn.ac.id, tanpa harus membayar biaya ujian. Calon peserta Bidikmisi yang dinyatakan tidak memenuhi persyaratan seleksi Jalur Undangan atau dinyatakan tidak diterima melalui seleksi Jalur Undangan, maka KAP dan PIN dapat digunakan kembali untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis tanpa harus membayar biaya ujian. Apabila calon peserta Bidikmisi telah dinyatakan lulus melalui seleksi Jalur Undangan dan berkeinginan untuk mendaftar SNMPTN Jalur Ujian Tertulis, maka PIN yang telah diperoleh dinyatakan tidak berlaku dan yang bersangkutan harus membayar biaya ujian dengan menggunakan KAP yang telah diperoleh sebelumnya. LAMAN RESMI DAN ALAMAT PANITIA PELAKSANA Informasi resmi mengenai SNMPTN dapat diakses melalui laman resmi http://www.snmptn.ac.id. Informasi resmi lainnya juga dapat diperoleh melalui Twitter SNMPTN: @2012snmptn, Facebook (http://www.facebook.com/groups/snmptn), http://halo.snmptn.ac.id, dan call center: 08041450450 Alamat Panitia SNMPTN 2012: Direktorat Pendidikan, Gedung Rektorat ITB lantai 4, Jl. Tamansari No.64 Bandung 40116. Telp/Fax. (022) 2530689, e-mail: panitia@snmptn.ac.id. LAIN-LAIN Segala perubahan ketentuan yang berkaitan dengan pelaksanaan SNMPTN 2012 akan diinformasikan melalui laman SNMPTN 2012 dan menjadi bagian dari Prosedur Operasional Baku (POB) SNMPTN 2012.